计算n的阶乘n！末尾所含有“0”的个数

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问题描述

给定参数n（n为正整数），请计算n的阶乘n！末尾所含有“0”的个数。

例如，5！=120，其末尾所含有的“0”的个数为1；10！= 3628800，其末尾所含有的“0”的个数为2；20！= 2432902008176640000，其末尾所含有的“0”的个数为4。

计算公式

令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数，则有

当n <>= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。

问题分析

显然，对于阶乘这个大数，我们不可能将其结果计算出来，再统计其末尾所含有的“0”的个数。所以必须从其数字特征进行分析。下面我们从因式分解的角度切入分析。

我们先考虑一般的情形。对于任意一个正整数，若对其进行因式分解，那么其末尾的“0”必可以分解为2*5。在这里，每一个“0”必然和一个因子“5”相对应。但请注意，一个数的因式分解中因子“5”不一定对应着一个“0”，因为还需要一个因子“2”，才能实现其一一对应。

我们再回到原先的问题。这里先给出一个结论：

结论1： 对于n的阶乘n！，其因式分解中，如果存在一个因子“5”，那么它必然对应着n！末尾的一个“0”。

下面对这个结论进行证明：

(1)当n 在 0, 5 之间时，f(n!) = 0;

(2)当n >= 5时，令n！= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a，其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4)，a是一个不含因子“5”的整数。

对于序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每一个数5i(1 <= i <= k)，都含有因子“5”，并且在区间(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)内存在偶数，也就是说，a中存在一个因子“2”与5i相对应。即，这里的k个因子“5”与n！末尾的k个“0”一一对应。

我们进一步把n！表示为：n！= 5^k * k! * a（公式1），其中5^k表示5的k次方。很容易利用(1)和迭代法，得出结论1。

上面证明了n的阶乘n！末尾的“0”与n！的因式分解中的因子“5”是一一对应的。也就是说，计算n的阶乘n！末尾的“0”的个数，可以转换为计算其因式分解中“5”的个数。

令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数，则利用上面的的结论1和公式1有：

f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!)

所以，最终的计算公式为：

当n < size="2">当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。

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这是帖子作者给出的笔记，后面有人回帖提到在柯召，孙琦的《数论讲义》上册的数论函数部分中就有。

Pot_p(n!) = [n/p] + Pot_p([n/p]!)

递归使用这个公式就可以得到 Pot_p(n!) 的表达式。